Chapter 1 समुच्चय Ex 1.6
प्रश्न 1.
यदि X और Y दो ऐसे समुच्चय हैं कि n(X) = 17, n(Y) = 23 तथा n(X ∪ Y) = 38, तो n(X ∩ Y) ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है: (A) = 17, n (Y) = 23
और n (X ∪ Y) = 38
∴ n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) – n(X ∩ Y)
38 = 17 + 23 – n(X ∩ Y)
= 40 – n (X ∩ Y)
n(X ∩ Y) = 40 – 38 = 2.
प्रश्न 2.
यदि X और Y दो ऐसे समुच्चय हैं कि X ∪ Yमें 18, X में 8 और Y में 15 अवयव हों तो X ∩ Y में कितने अवयव होंगे?
हल:
n(X) = 8, n(Y) = 15 और n(X ∪ Y) = 18
हम जानते हैं कि,
n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) – n (X ∩ Y)
18 = 8 + 15 – n(X ∩ Y)
= 23 – n(X ∩ Y )
या n(X ∩ Y) = 23 – 18 = 5.
प्रश्न 3.
400 व्यक्तियों के समूह में, 250 हिन्दी तथा 200 अंग्रेजी बोल सकते हैं। कितने व्यक्ति हिन्दी तथा अंग्रेजी दोनों बोल सकते हैं?
हल:
मान लीजिए कि H और E क्रमशः हिन्दी व अंग्रेजी बोलने वालों के समुच्चय हों, तब
n(H) = 250, n(E) = 200
और n(H ∪ E) = 400
अब n(H ∪ E) = n(H) + n(E) – n(H ∩ E)
∴ 400 = 250 + 200 – n(H ∩ E)
= 450 – n(H ∩ E)
∴ n (H ∩ E) = 450 – 400 = 50.
प्रश्न 4.
यदि S और T दो ऐसे समुच्चय हैं कि 5 में 21, T में 32 और S ∩ T में 11 अवयव हों तो S ∪ T में कितने अवयव होंगे?
हल:
यहाँ n(S) = 21, n (T) = 32, n(S ∩ T) = 11
n(S ∪ T) = n(S) + n(T) – n(S ∩ T)
= 21 + 32 – 11 = 53 – 11
= 42.
प्रश्न 5.
यदि और Y दो ऐसे समुच्चय हैं कि x में 40, X ∩ Y में 60 और X ∪ Y में 10 अवयव हों, तो Y में कितने अवयव होंगें?
हल:
n(X) = 40, n(X ∪ Y) = 60, n(X ∩ Y) = 10, n(Y) = ?
अब n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) – n (X ∩ Y)
60 = 40 + n (Y) – 10
n(Y) = 60 – 40 + 10 = 30.
प्रश्न 6.
70 व्यक्तियों के समूह में 37 कॉफी, 52 चाय पसंद करते हैं और प्रत्येक व्यक्ति दोनों मे से कम से कम एक पेय पसंद करता है, तो कितने व्यक्ति कॉफी और चाय दोनों पसंद करते हैं ?
हल:
मान लिया C, कॉफी पीने वाले लोगों के समुच्चय को और T, चाय पीने वाले लोगों के समुच्चय हों, तब
n(C ∪ T) = 70, n(C) = 37, n(T) = 52
n(C ∩ T) = n (C) + n(T) – n(C ∩ T)
70 = 37 + 52 – n(C ∩ T)
∴ n(C ∩ T) = 37 + 52 – 70
= 89 – 70 = 19.
प्रश्न 7.
65 व्यक्तियों के समूह में, 40 व्यक्ति क्रिकेट और 10 व्यक्ति क्रिकेट तथा टेनिस दोनों को पंसद करते हैं, तो कितने व्यक्ति केवल टेनिस को पंसद करते हैं किंतु क्रिकेट को नहीं? कितने व्यक्ति टेनिस को पंसद करते हैं?,
हल:
मान लीजिए C, क्रिकेट पंसद करने वाले लोगों का समुच्चय है और T टेनिस पंसद करने वालों का समुच्चय हो, तब
n(C ∪ T) = 65, n(C) = 40, n(C ∩ T) = 10
हम जानते हैं कि n(C ∪ T) = n(C) + n(T) – n(C ∩ T)
65 = 40 + n(T) – 10
= 30 + n(T)
n(T) = 65 – 30 = 35
केवल टेनिस पंसद करने वालो की संख्या = n(T) – n(C ∩ T)
= 35 – 10 = 25.
इस प्रकार टेनिस पंसद करने वालों की संख्या जो क्रिकेट पंसद नहीं करते = 25
अतः टेनिस पंसद करने वाले लोगों की संख्या = 35.
प्रश्न 8.
एक कमेटी में, 50 व्यक्ति फ्रैंच 20 व्यक्ति स्पेनिश और 10 व्यक्ति स्पेनिश और फ्रैंच दोनों ही . भाषाओं को बोल सकते हैं। कितने व्यक्ति इन दोनों ही भाषाओं में से कम से कम एक भाषा बोल सकते हैं?
हल:
मान लीजिए फ्रांसीसी बोलने वाले लोगों के समुच्चय को F से तथा स्पैनिश बोलने वाले लोगों के समुच्चय का S से निरुपित किया हो, तब
n(F) = 50, n(S) = 20, n(F ∩ S) = 10
अब n(F ∪ S) = n(F) + n (S) – n (F ∩ S)
= 50 + 20 – 10 = 60
कम से कम एक भाषा बोलने वाले लोगों की संख्या = 60