Chapter 7 Integrals (समाकलन) hindi

प्रश्नावली 7.1

निम्नलिखित फलनों के प्रतिअवकलज ( समाकलन) निरीक्षण विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.
sin 2x
हल–
∫sin 2x dx
हम जानते हैं कि, 

cos2x = -2 sin 2x

प्रश्न 2.
cos 3x
हल–
∫cos 3x dx
हम जानते हैं कि,  sin 3x = 3 cos 3x

प्रश्न 3.
e^2x
हल–
∫e^2x dx
हम जानते हैं कि,

प्रश्न 4.
(ax + b)²
हल–
∫(ax + b)² dx
हम जानते हैं कि,

प्रश्न 5.
sin 2x – 4e^3x
हल–
∫(sin 2x -4e^3x) dx = ∫sin 2x dx – 4∫e^3x …(1)

निम्नलिखित समाकलनों को ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 6.
∫(4e^3x + 1) dx
हल–
∫(4e^3x + 1) dx = 4∫e^3xdx + ∫1 dx

प्रश्न 7.

हल–

प्रश्न 8.
∫(ax² + bx + c) dx
हल–
∫(ax² + bx + c) dx = a∫x²dx + b∫xdx + c∫1 dx

प्रश्न 9.
∫(2x² + e^x) dx
हल–
∫(2x² + e^x) dx = 2∫x² dx + ∫e^x dx

प्रश्न 10.

हल–

प्रश्न 11.

हल–

प्रश्न 12.

हल–

प्रश्न 13.

हल–

प्रश्न 14.
∫(1-x)√x dx
हल–
∫(1-x)√x dx
=∫(√x-x√x)dx

प्रश्न 15.
∫√x(3x² + 2x + 3)dx
हल–
∫√x(3x² + 2x + 3)dx

प्रश्न 16.
∫(2x – 3cosx + e^x)dx
हल–
∫(2x – 3cosx + e^x)dx

प्रश्न 17.
∫(2x² – 3sinx + 5√x)dx
हल–
∫(2x² – 3sinx + 5√x)dx
= 2∫x² dx – 3 ∫ sinx dx + 5∫√x dx

प्रश्न 18.
∫secx (sec x + tan x) dx
हल–
∫sec x (sec x + tan x) dx
= ∫(sec² x + sec x tan x) dx
= ∫(sec² x dx
= ∫sec x tan x dx
tan x + sec x + C

प्रश्न 19.

हल–

प्रश्न 20.

हल–

प्रश्न 21 एवं 22 में सही उत्तर का चयन कीजिए

प्रश्न 21

हल–

प्रश्न 22

हल–

प्रश्नावली 7.2

प्रश्न 1 से 37 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलने का समाकलन ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.

हल–

प्रश्न 2.

हल–

प्रश्न 3.

हल–

प्रश्न 4.
sin x sin (cos x)
हल–
मानी I = ∫ sin x sin (cos x) dx …(1)
माना cos x = t, दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
– sin x dx = dt ⇒ sin x dx = – dt
∴(1) से, I = ∫sin (cos x) (sin x) dx = -∫sint dt
= cos t + C = cos (cos x) + C

प्रश्न 5.
sin (ax + b) cos (ax + b)
हल–
माना I = ∫sin (ax + b) cos (ax + b) dx
माना sin (ax + b) = t, दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
a cos (ax + b) dx = dt

प्रश्न 6.

हल–

प्रश्न 7.

हल–

प्रश्न 8.

हल–

प्रश्न 9.

हल–

प्रश्न 10.

हल–

प्रश्न 11.

हल–

प्रश्न 12.
(x³ – 1)^1/3 x⁵
हल–

प्रश्न 13.

हल–

प्रश्न 14

हल–

प्रश्न 15

हल–

प्रश्न 16.
e^2x+3
हल–

प्रश्न 17.

हल–

प्रश्न 18.

हल–

प्रश्न 19.

हल–

प्रश्न 20.

हल–

प्रश्न 21.
tan²(2x – 3)
हल–

प्रश्न 22.
sec²(7 – 4x)
हल–
माना
I = ∫sec²(7 – 4x) …(1)
माना 7 – 4x = t, दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 23.

हल–

प्रश्न 24.

हल–

प्रश्न 25.

हल–

प्रश्न 26.

हल–

प्रश्न 27.

हल–

प्रश्न 28.

हल–

प्रश्न 29.
cot x log sin x
हल–

प्रश्न 30.

हल–

प्रश्न 31.

हल–

प्रश्न 32.

हल–

प्रश्न 33.

हल–

प्रश्न 34.

हल–

प्रश्न 35.

हल–

प्रश्न 36.

हल–

प्रश्न 37.

हल–

प्रश्न 38.

हल–

प्रश्न 39.

हल–

प्रश्नावली 7.3

निर्देश- 1 से 22 तक के प्रश्नों में प्रत्येक का समाकलन ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.
sin² (2x + 5)
हल–
माना I = ∫sin ² (2x + 5) dx

प्रश्न 2.
sin 3x cos 4x dx
हल–

प्रश्न 3.
cos 2x cos 4x cos 6x dx
हल–
cos 2x cos 4x cos 6x dx

प्रश्न 4.
sin³ (2x + 1)
हल–
माना I = ∫sin³ (2x + 1) dx

प्रश्न 5.
sin³x cos³x
हल–

प्रश्न 6.
sinx sin2x sin3x
हल–
माना I = ∫sinx sin2x sin3x

प्रश्न 7.
sin 4x sin 8x
हल–

प्रश्न 8.

हल–

प्रश्न 9.

हल–

प्रश्न 10.
sin x⁴ dx
हल–

प्रश्न 11.
cos⁴ 2x
हल–

प्रश्न 12.

हल–
माना

= ∫(1-cosx)dx = ∫1 dx – ∫ cosx dx
= x – sinx +C

प्रश्न 13.

हल–

प्रश्न 14.

हल–

प्रश्न 15.
tan³ 2x sec 2x
हल–

प्रश्न 16.
tan⁴ x
हल–

प्रश्न 17.

हल–

प्रश्न 18.

हल–

प्रश्न 19.

हल–

प्रश्न 20.

हल–

प्रश्न 21.
sin^-1 (cosx)
हल–

प्रश्न 22.

हल–

प्रश्न 23.

हल–

प्रश्न 24.

हल–

प्रश्नावली 7.4

प्रश्न 1 से 23 तक के फलनों का समाकलन कीजिए।

प्रश्न 1.

हल–

प्रश्न 2.

हल–

प्रश्न 3.

हल–

प्रश्न 4.

हल–

प्रश्न 5.

हल–

प्रश्न 6.

हल–

प्रश्न 7.

हल–

प्रश्न 8.

हल–

प्रश्न 9.

हल–

प्रश्न 10.

हल–

प्रश्न 11.

हल–

प्रश्न 12.

हल–

प्रश्न 13.

हल–

प्रश्न 14.

हल–

प्रश्न 15.

हल–

प्रश्न 16.

हल–

प्रश्न 17.

हल–

प्रश्न 18.

हल–

प्रश्न 19.

हल–

प्रश्न 20.

हल–

प्रश्न 21.

हल–

प्रश्न 22.

हल–

प्रश्न 23.

हल–

प्रश्न 24.

हल–

प्रश्न 25.

हल–

प्रश्नावली 7.5

प्रश्न 1 से 21 तक के प्रश्नों में परिमेय फलनों का समाकलन कीजिए

प्रश्न 1.

हल–

प्रश्न 2.

हल–

प्रश्न 3.

हल–

प्रश्न 4.

हल–

प्रश्न 5.

हल–

प्रश्न 6.

हल–

प्रश्न 7.

हल–

प्रश्न 8.

हल–

प्रश्न 9.

हल–

प्रश्न 10.

हल–

प्रश्न 11.

हल–

प्रश्न 12.

हल–

प्रश्न 13.

हल–

प्रश्न 14.

हल–

प्रश्न 15.

हल–

प्रश्न 16.

हल–

प्रश्न 17.

हल–

प्रश्न 18.

हल–

प्रश्न 19.

हल–

प्रश्न 20.

हल–

प्रश्न 21.

हल–

प्रश्न 22.

हल–

प्रश्न 23.

हल–

प्रश्नावली 7.6

प्रश्न 1 से 22 तक के प्रश्नों के फलनों का समाकलन कीजिए

प्रश्न 1.
फलन x sin x का x के सापेक्ष समाकल ज्ञात कीजिए।
हल–
∫x sin x dx

= – x cos x + ∫cos x dx
= – x cos x + sin x + C

प्रश्न 2.
x sin 3x
हल–
माना I = ∫x.sin 3x dx

प्रश्न 3.
x² e^x
हल–
माना I = ∫x² e^x dx

प्रश्न 4.
फलन x log x का x के सापेक्ष समाकल ज्ञात कीजिए।
हल–
∫ x log x dx

प्रश्न 5.
x log 2x
हल–
माना I = ∫x log 2x dx
= ∫(log 2x).x dx

प्रश्न 6.
फलन x² log x का x के सापेक्ष समाकल ज्ञात कीजिए।
हल–
माना I = ∫x² log x dx

प्रश्न 7.
x sin^-1 x
हल–

प्रश्न 8.
x tan^-1x
हल–

प्रश्न 9.
x cos^-1 x
हल–

प्रश्न 10.
(sin^-1x)²
हल–
माना I = [(sin^-1 x)² dx ….(1)
sin^-1 x = θ ⇒ x = sinθ ⇒ dx = cos θ dθ
∴(1) से,

प्रश्न 11.

हल–

प्रश्न 12.
x sec² x
हल–
माना I = ∫x sec² x dx

x को पहला फलन तथा sec²x को दूसरा फलन लेकन खण्डश: समाकलन करने पर,
= x tan x – ∫1. tan x dx
= x tan x + log|cos x| + C

प्रश्न 13.
tan^-1 x
हल–

प्रश्न 14.
x(log x)²
हल–
माना I = ∫x (log x)² dx
= ∫(log x)².x dx

प्रश्न 15.
(x² + 1) log x
हल–
माना I = ∫(x² + 1) log x dx
= ∫log x. (x² + 1) dx
(log x) को पहला फलन तथा (x² + 1) को दूसरा फलन लेकर खण्डश: समाकलन करने पर,

प्रश्न 16.
e^x (sinx + cosx)
हल–
e^x sinx = t
⇒ e^x (sinx + cosx)dx = dt
= ∫e^x(sinx + cosx)dx = ∫dt = t + c
= e^x sinx + c

प्रश्न 17

हैल-

प्रश्न 18.

हल–

प्रश्न 19.

हल–

प्रश्न 20.

हल–

प्रश्न 21.
e^2x sinx
हल–

प्रश्न 22.

हल–

प्रश्न 23

हल–

प्रश्न 24.

हल–

प्रश्नावली 7.7

प्रश्न 1 से 9 तक के फलनों का समाकलन कीजिए

प्रश्न 1.

हल–

प्रश्न 2.

हल–

प्रश्न 3.

हल–

प्रश्न 4.

हल–

प्रश्न 5.

हल–

प्रश्न 6.

हल–

प्रश्न 7.

हल–

प्रश्न 8.

हल–

प्रश्न 9.

हल–

प्रश्न 10.

हल–

प्रश्न 11.

हल–

प्रश्नावली 7.8

योगों की सीमा के रूप में निम्नलिखित निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.

हल–

प्रश्न 2.

हल–

प्रश्न 3.

हल–

प्रश्न 4.

हल–

प्रश्न 5.

हल–

प्रश्न 6.

हल–

प्रश्नावली 7.9

1 से 20 तक के प्रश्नों में निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.

हल–

प्रश्न 2.

हल–

प्रश्न 3.

हल–

प्रश्न 4.

हल–

प्रश्न 5.

हल–

प्रश्न 6.

हल–

प्रश्न 7.

हल–

प्रश्न 8.

हल–

प्रश्न 9.

हल–

प्रश्न 10.

हल–

प्रश्न 11.

हल–

प्रश्न 12.

हल–

प्रश्न 13.

हल–

प्रश्न 14.

हल–

प्रश्न 15.

हल–

प्रश्न 16.

हल–

प्रश्न 17.

हल–

प्रश्न 18.

हल–

प्रश्न 19.

हल–

प्रश्न 20.

हल–

प्रश्न 21.

हल–

प्रश्न 22.

हल–

प्रश्नावली 7.10

प्रश्न 1 से 8 तक के प्रश्नों में समाकलनों का मान प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.

हल–

प्रश्न 2.

हल–

प्रश्न 3.

हल–

प्रश्न 4.

हल–

प्रश्न 5.

हल–

प्रश्न 6.

हल–

प्रश्न 7.

हल–

प्रश्न 8.

हल–

प्रश्न 9.

हल–

प्रश्न 10.

हल–

प्रश्नावली 7.11.

निश्चित समाकलनों में गुणधर्मों का उपयोग करते हुए 1 से 19 तक के प्रश्नों में समाकलनों का मान ज्ञात कीपिए—

प्रश्न 1.

हल–

प्रश्न 2.

हल–

प्रश्न 3.

हल–

प्रश्न 4.

हल–

प्रश्न 5.

हल–

प्रश्न 6.

हल–

प्रश्न 7.

हल–

प्रश्न 8.

हल–

प्रश्न 9.

हल–

प्रश्न 10.

हल–

प्रश्न 11.

हल–

प्रश्न 12.

हल–

प्रश्न 13.

हल–

प्रश्न 14.

हल–

प्रश्न 15.

हल–

प्रश्न 16.

हल–

प्रश्न 17.

हल–

प्रश्न 18.

हल–

प्रश्न 19.

हल–

प्रश्न 20.

हल–

प्रश्न 21.

हल–